10進数とn進数の相互変換

32や256という数字を扱う際には一般的に10進数を利用します。

しかし、プログラムなどのIT技術を学習すると2進数や16進数などで数字を扱うこともあります。

今回は進数についての説明と考え方の紹介です。長文です。

進数とは

進数とは「進む数」と書きます。進数の種類は、2進数、8進数、10進数、16進数が代表的です。進数の前の数字は桁が進む数を表しています。

2進数は2で桁が上がり、16進数だと16で桁が上がります。

桁上がりと進数

普段利用している10進数で考えてみます。

「0 1 2 3 4 5 6 7 8 9」 までの10種類の数字を使い1つの桁を表します。9の次は10となり2桁で表現します。

次は2進数で考えます。

「0 1」の2種類の数字を使い1つの桁を表します。1の次は10となり2桁で表現されます。「2進数での10(イチゼロ)」は「10進数の2」と同様になります。

下記は2進数と10進数の対応表です。

10進数	2進数
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101

補足

8進数だと「0 1 2 3 4 5 6 7」の8種類の数字を使い1つの桁を表します。7の次は10となり2桁で表現されます。

16進数だと「0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f」の10種類の数字と6種類の記号を使い1つの桁を表します。fの次は10となり2桁で表現されます。つまり16進数の10は2進数の16になります。

桁の考え方

10進数では163はヒャクロクジュウサンと表現します。桁は位（くらい）でも表現ができ、以下の考え方で表現されます。

100の位	10の位	１の位
１	６	３

10進数では桁が上がるごとに位が10倍ずつされていきます。位ごとに数字を分解して考えると、以下のように表すことができます。

位	位ごとの数字
100	1 x 100
10	6 x 10
1	3 x 1

この位ごとの数字を全て足すと「100+60+3=163」となります。当たり前のように感じるかもしれませんが、この考え方を2進数に応用すると以下のようになります。

続いては2進数での1101（イチイチゼロイチ）で考えてみます。表中の位は10進数をもとに表記しています。

8の位	4の位	2の位	１の位
1	１	0	1

2進数では桁が上がるごとに位が2倍ずつされていきます。位ごとに数字を分解して考えると、以下のように表すことができます。

位	位ごとの数字
8	1 x 8
4	1 x 4
2	0 x 2
1	1 x 1

この位ごとの数字を全て足すと「8+4+0+1=13」となり、2進数の「1101」は10進数の「13」となります。

10進数の場合、普段使い慣れているため意識しなくてもいいですが、2進数や8進数を10進数と対応して扱うには位が重要です。

例えば2進数の「1101111」を10進数に変換する場合は「桁と位」を考えると、比較的わかりやすく変換できます。

2進数では桁が増えていく毎に位取りは2倍ずつになるため、以下の表が考えられます。以下の表は9桁までしかありませんが、10桁目は256の2倍で512の位となります。

桁	9	8	7	6	5	4	3	2	1
位	256	128	64	32	16	8	4	2	1

位と2進数の数値「1101111」を対応させた表は以下の通りです。

64の位	32の位	16の位	8の位	4の位	2の位	1の位
1	1	0	1	1	1	1

○の位の○部分と対応する2進数の数値を掛け算すると、その桁の10進数がわかります。

64の位は1なので、64×1=64になります。

32の位は1なので、32×1=32になります。

16の位は0なので、16×0=0になります。

8の位は1なので、8×1=8になります。

4の位は1なので、4×1=4になります。

2の位は1なので、2×1=2になります。

1の位は1なので、1×1=1になります。

上記の全ての位を足し算することで10進数に変換できます。

64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 111

n進数から10進数へ変換する

前述しましたが、n進数から10進数へ変換する際には、「桁と位」が重要です。

2進数から10進数へ変換

2進数の場合は位が2倍ずつで増えていくため、以下のような適当な表を作ります。今回は6桁で表を作成しました。

□	□	□	□	□	□
□	□	□	□	□	□

次に右から順に最初のみ１、そして左に２倍ずつ増えていく位（２、４、８、、、）を書いていきます。

←　右から2倍ずつ（一番右のみ１）

32	16	8	4	2	1
□	□	□	□	□	□

次に2進数の数字を位の下に埋めていきます。例えば1101の場合は以下の通りです。

32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1

後は位の2進数の部分で1になっている部分の位を足し算していくだけです。今回は8と4と1を足し算した結果（13）が10進数に変換した数値となります。

32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1

8進数から10進数への変換

8進数だと位が8倍ずつなので、以下のようになります。

←　右から8倍ずつ（一番右のみ１）

32768	4096	512	64	8	1
□	□	□	□	□	□

8進数で5505の場合は、位の数値と対応する8進数の数値を掛け算して、その数値を合計します。

32768	4096	512	64	8	1
		5	5	0	5

512 × 5 = 2560

64 × 5 = 320

8 × 0 = 0

1 × 5 = 5

上記を合計し、2885となります。

10進数からn進数に変換する

通常、10進数からn進数に変換する際には以下の方法を用います。

10進数からn進数に変換する　その１

以下は10進数の133を、2進数に変換する場合です。

数値を2で割っていきます。ただし、整数で答えを求め余りを算出します。
さらに答えを2で割り、整数で答えを求め余りを算出します。
最後の答えが1になるまで繰り返します。

以下は133を2で割っていく手順です。

①133を2で割ります（66余り1）

②66を2で割ります（33余り0）

③33を2で割ります（16余り1）

④16を2で割ります（8余り0）

⑤8を2で割ります（4余り0）

⑥4を2で割ります（2余り0）

⑦2を2で割ります（1余り0）

答えが1になったので終了

算出された余りを番号順に右から並べていきます。

また、一番左には最後の答えである１を置きます。上の手順を並べると以下のような2進数が出来上がります。

1 0 0 0 0 1 0 1

図解で表すと以下のようになります。矢印は2進数にする際の並べる順序です。
※番号は上の説明手順とリンクさせてあります。

補足

10進数から2進数に変換する際には2で割り算を行いますが、8進数に変換する際には8で割ります。2進数と違い最後の答えが8より小さくなったら（7以下）終了となります。

10進数の130を、8進数へ変換

①130を8で割ります（16余り2）

②16を8で割ります（2余り0）

答えが2になり、8より小さくなったので終了

算出された余りを番号順に右から並べていきます。

また、一番左には最後の答えである２を置きます。上の手順を並べると以下のような8進数が出来上がります。

2 0 2

10進数からn進数に変換する　その２

10進数からn進数へ変換するには、n進数から10進数へ変換する際の手順を応用することでも可能です。

例えば、10進数の118を、2進数へ変換する場合を考えます。

１、２、４、８と2倍ずつしていき、118を超えるまで行います。

その数字を右から並べていき、位にします。（以下は参考の表）

←右から2倍した数字を並べていく

128	64	32	16	8	4	2	1
□	□	□	□	□	□	□	□

並べた数字【位】を118になるように足し算する（左の数字から足していくとわかりやすい）

→左から118を超えないように足し算

128	64	32	16	8	4	2	1
	□	□	□	□	□	□	□

※128は118を超えるため赤で色を付けています。

①64は128以内なので1を置く

②64  + 32 = 96
118以内なので1を置く
また、合計の96は右の位との足し算に利用する

③96 + 16 = 112
118以内なので1を置く
また、合計の112は右の位との足し算に利用する

④112 + 8 = 120
118を超えるので0を置く
また、合計はせず112を右の位との足し算に利用する

⑤112 + 4 = 116
118以内なので1を置く
また、合計の116は右の位との足し算に利用する

⑥116 + 2  =118
118になったため1を置く
残りの桁がある場合は全て0を置き終了します

まとめ

合計に利用した位に1を置き、合計に利用しなかった位は0を置きます。その数字が2進数となります。10進数の118は、2進数では1110110となります。

128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	1	0	1	1	0

補足

10進数から8進数へ変換するには、8進数から10進数へ変換する際の手順を応用することでも可能です。

例えば、10進数の132を、8進数へ変換する場合を考えます。

１、8、64、512と8倍ずつしていき、132を超えるまで行います。

その数字を右から並べていき、位にします。（以下は参考の表）

←右から2倍した数字を並べていく

512	64	8	1
□	□	□	□

並べた数字【位】を一桁ずつ、132になるように掛け算と足し算を行う（左の数字から一桁ずつ行うとわかりやすい）

→左から132を超えないように掛け算と足し算を行う

512	64	8	1
□	□	□	□

※512は132を超えるため赤で色を付けています。

①64  x 2 = 128
132を超えないように掛け算を行う。3以上で掛け算すると132を超える為、この桁では2が置かれることになる。
また、128は右の位との足し算に利用する。

②128 + (8 x 0) = 128
「左の位までの合計値」と「現在の位と数値を掛け算した結果」を132以内になるように計算する。1以上で計算すると132を超える為、この桁では0が置かれることになる。
また、合計の128は右の位を足し算に利用する。

③128+ (1 x 4) = 132
「左の位までの合計値」と「現在の位と数値を掛け算した結果」を141以内になるように計算する。4で計算すると132となる為、この桁では4が置かれることになる。残りの桁がある場合は全て0を置き終了します。

 

まとめ

右から、位と7までの数字を目的の数値(上記例での132)を超えないように掛け算します。
次に、左の位までの合計と現在の桁を足算し、目的の数値を超えないように近づけています。

各位で掛け算に利用した数値（0から7）を置きます。その数字が8進数となります。10進数の132は、8進数では204となります。

512	64	8	1
□	2	0	4

 

進数変換問題　おまけ練習